Графический метод решения задач ЛП: оптимизация прибыли

Графический метод решения задач ЛП

Максимизация прибыли с учетом ресурсных ограничений

Постановка задачи

Задача сводится к поиску пары значений (x₁, x₂), которая максимизирует прибыль, не нарушая ограничений по материалам и времени. Переменные решения определяются следующим образом:

x₁ — количество столов (ось X)

x₂ — количество стульев (ось Y)

Формулировка ограничений

Древесина: 5x₁ + 2x₂ = 60 ⟹ x₂ = (60 - 5x₁) / 2

Рабочее время: 8x₁ + 4x₂ = 96 ⟹ x₂ = 24 - 2x₁

Область допустимых решений: первая четверть (x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0)

Принцип построения графика

Нанесем линии ограничений на плоскость. Оптимум в задачах линейного программирования всегда достигается в одной из вершин многоугольника допустимых решений, образованного этими линиями и осями координат.

Анализ ограничения: Древесина

Линия ограничения по древесине (красная). При x₁=0 (0 столов), x₂=30 стульев. При x₂=0 (0 стульев), x₁=12 столов. Допустимая область лежит ниже этой линии.

Анализ ограничения: Рабочее время

Линия ограничения по времени (синяя). При x₁=0, x₂=24. При x₂=0, x₁=12. Заметьте, что эта линия ниже линии древесины на оси Y. Это 'более строгое' ограничение для стульев.

Нахождение точки пересечения

(10x₁ + 4x₂) - (8x₁ + 4x₂) = 120 - 96 ⟹ 2x₁ = 24 ⟹ x₁ = 12

Подставляем обратно: 2x₂ = 0 ⟹ x₂ = 0. Точка пересечения: (12, 0).

Основные вершины ОДР

Точка A (0, 0): Начало координат. Производство отсутствует.

Точка B (0, 24): Максимум по стульям, ограниченный рабочим временем.

Точка C (12, 0): Максимум по столам, ограниченный обоими ресурсами.

Вычисление Целевой Функции

Сравнение прибыли (Z = 45x₁ + 20x₂) в ключевых точках

Важные выводы

График иллюстрирует, что ограничение по времени и древесине приводят к одному и тому же предельному значению для столов (12 шт). Производство стульев при таком раскладе становится экономически невыгодным.

Итоговое Решение

Максимальное значение прибыли — 540 у.е. — достигается при производстве 12 столов и 0 стульев.

Построение графиков ограничений позволяет не только подтвердить расчёты, но и глубже понять структуру решения.